ScientificWare

Fusion des Maths Sciences et Informatiques

Accueil > Publications > Pourquoi les tribus ?

Pourquoi les tribus ?

mardi 22 janvier 2019, par ScientificWare

Mesurer un seul objet, c’est arriver à établir une relation entre cet objet et un nombre. Je peux même affirmer pour me simplifier la vie qu’il n’y a pas d’autre relation entre cet objet et un autre nombre, cette relation est unique. (autrement dit, mesurer un objet c’est définir une fonction et dans ce cas précis, où il n’y a qu’un seul objet, c’est définir une application).

Par exemple, prenons un morceau de sucre, rien ne m’empêche de dire que la mesure de ce morceau de sucre est de 40.

Les problèmes commencent lorsque le nombre d’objets dépasse 1.
...

Le mot « arriver » est essentiel puisque rien ne me garantit que cela soit possible pour cet objet !

Le problème vient du jeu « pile ou face ». Imaginons qu’un nombre indéterminé (mais dénombrables) de personnes puissent lancer indéfiniment une pièce de 1€.

Peut-on calculer la probabilité d’obtenir le résultat de cette expérience ?

Si j’ai bien compris Daniel Saada dans son ouvrage « Tribus et Probabilités sur les Univers Infinis », il est impossible de définir sur \mathcal{P}(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E non dénombrable, une application f telle que :
- f soit sigma additive,
- f s’annule pour tout élément de \mathcal{P}(E),

en lui imposant également f(E)=1.

En fait, le seul résultat que l’on puisse obtenir avec les conditions précédentes est : f(E)=0.

Mais est-ce que cela fonctionnerait sur une partie seulement de {\mathcal{P}}(E) ?
Nous pourrions par exemple nous limiter aux parties qui respectent au moins les règles de calcul pour nos fonctions :

  • ...
  • ...

Autrement dit, construire un ensemble « sur mesure ».
Ces ensembles sont effectivement les tribus. ...