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Associativité des bornes supérieures et inférieures.

Preuve de la relation.

mercredi 8 juin 2016, par ScientificWare

$\sup(A \cup B) = \sup({\sup(A) , \sup(B)})$
Relation qui peut également s’écrire :
$\sup(A \cup B) = \max({\sup(A) , \sup(B)})$

Preuve :

Soit $M_{A \cup B}$ l’ensemble des majorants de $A \cup B$ .
Notons l’ensemble $\{\sup(A) , \sup(B)\}$
Soit l’ensemble des majorants de

Soit $\alpha \in M_{A \cup B}$ puisque $A \subset A \cup B$ et $B \subset A \cup B$ , on en déduit que $\alpha$ est un majorant de et et par conséquent $\sup(A) \leq \alpha$ et $\sup(B) \leq \alpha$ donc $\alpha$ est un majorant de $\{\sup(A) , \sup(B)\}$ d’où $\alpha \in M_E$ .
Autrement dit, $M_{A \cup B} \subset M_E$ .

Soit $\beta \in M_E$ alors $\sup(A) \leq \beta$ et $\sup(B) \leq \beta$ donc $\beta$ est un majorant de et un majorant de .
$x \in A \cup B$ équivaut à $x \in A$ ou $x \in B$ ce qui entraîne $x \leq \beta$ ou $x \leq \beta$ donc $\beta$ est un majorant de $A \cup B$ d’où $\beta \in M_{A \cup B}$ .
Autrement dit, $M_E \subset M_{A \cup B}$

En regroupant les deux résultats, on a $M_E = M_{A \cup B}$ .

$\inf(A \cup B) = \inf({\inf(A) , \inf(B)})$
Relation qui peut également s’écrire :
$\inf(A \cup B) = \min({\inf(A) , \inf(B)})$