Accueil > Publications > Suite borne supérieure ou inférieure d’une suite réelle quelconque.

Suite borne supérieure ou inférieure d’une suite réelle quelconque.

Il s’agit de montrer la croissance ou la décroissance de ces deux suites.

mercredi 30 novembre 2016, par ScientificWare

On définit $a_n=\displaystyle\inf_{k \geq n} \{x_k\}$ , $a_n\in\bar{\mathbb{R}}$ et $b_n=\displaystyle\inf_{k \geq n}\{x_k\}$ , $b_n\in\bar{\mathbb{R}}$

Pour montrer que est décroissante et n est croissante j’ai défini $I_n=\{x_k,k \geq n\}$
Si $x\in{I_{n+1}}$ alors $x\in{I_{n}}$ donc $x\leq\sup(I_n)$ et $x\geq\inf(I_n)$ c’est à dire et sont respectivement un majorant et un minorant de $I_{n+1}$ .

Or ${a}_{n+1}$ et ${b}_{n+1}$ sont respectivement le plus petit majorant et le plus grand minorant de $I_{n+1}$ .

d’où ${a}_{n+1}\leq a_n$ et ${b}_{n+1}\geq {b}_{n}$ .

Ce qui revient à dire que $({a}_{n})_n$ est décroissante et $({b}_{n})_n$ est croissante.