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Continuité sur R² !
Continuités d’une fonction produit et quotient !
lundi 18 décembre 2006, par
Bonjour ! Souvent dans les exercices, la continuité des fonctions hors points litigieux est expédiée avec l’expression : « continue car composée de fonctions continues ».
La continuité des fonctions de base du type ou n’est pas toujours établie.
Comment prouver la continuité de la fonction et ?
Je recherche justement la démonstration utilisant la définition de la continuité.
Montrons que la fonction est continue sur
Je cherche à donc à prouver qu’il existe bien tel que : entraîne ,
Posons et Montrons que (1)
(inégalité triangulaire)
D’autre part puisque dans un espace de dimension finie (ici 2) toutes les normes sont équivalentes, on peut choisir la norme
Posons dans un premier temps : .
On a en particulier
d’où
Ainsi
ou encore
C’est à dire
Pour obtenir (1), il suffit de prendre .
Montrons que la fonction est continue sur .
Je cherche à prouver que pour cette fonction appelons la , il existe bien tel que entraîne , .
Autrement dit, comment démontrer que : ? (2)
Si vraiment, tu veux mettre les mains dans le cambouis, il n’y a qu’à y aller :
En prenant les valeurs absolues et en majorant :
On sait que .
D’autre part puisque dans un espace de dimension finie (ici 2) toutes les normes sont équivalentes, on peut choisir la norme .
Posons dans un premier temps : .
En particulier on a : ,
ce qui conduit à : (deuxième inégalité triangulaire)
puis à
et finalement : .
On pose ensuite
donc , est minoré par un , qui ne dépend que de .
Ton second membre est donc majoré par :
Pour obtenir (2), il suffit de prendre