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Limite inférieure, limite supérieure et valeur d’adhérence d’une suite.

Preuve des relations entre ses trois notions.

mercredi 30 novembre 2016, par scientificware

Montrons que la limite inférieure d’une suite est la plus petite de ses valeurs d’adhérence.

Dans cette preuve, j’ai totalement bloqué plusieurs jours par a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k+1}> x_q \geq a_{n_k+1}a_n=\displaystyle\inf_{p \geq n}\{u_p\} et (u_n)_n est une suite réelle.
Je n’arrivais pas à établir l’inégalité a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k+1}> x_q.
« Il y a sûrement quelque chose d’évident qui m’échappe ! »
Je savais que a_{n_k +1}+\frac{1}{n_k +1}>a_{n_k +1}.
Mais impossible de trouver, dans l’énoncé, l’hypothèse sur (x_q)_n qui me permettrait de placer une valeur x_q de cette suite entre a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k +1} et a_{n_k +1} ?
Est-ce que (x_q)_n converge vers a_{n_k+1} ?
Dans ce cas ce serait évident mais rien ne me permettait d’établir cette convergence.
Finalement, comme pour chaque démonstration directe peu évidente, on arrive à la question « Que se passerait-il si ce n’était pas le cas ? ».
Mais Oui ! Je viens enfin de comprendre. Pourquoi ne pas tenter un raisonnement par l’absurde :
S’il n’existait pas x_q tel que a_{n_k+1}+\frac{1}{ n_k+1}>x_q avec q \geq n cela voudrait dire que \displaystyle\inf_{i \geq n_k+1}(x_i)=a_{n_k+1}+\frac{1}{ n_k+1} c’est à dire a_{n_k+1}=a_{n_k+1}+\frac{1}{n_k+1} ce qui est impossible.

Donc il existe x_q tel que a_{n_k+1}+\frac{1}{ n_k+1}>x_q avec q \geq n.

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