Suite borne supérieure ou inférieure d’une suite réelle quelconque.

Il s’agit de montrer la croissance ou la décroissance de ces deux suites.

On définit a_n=\displaystyle\inf_{k \geq n} \{x_k\}, a_n\in\bar{\mathbb{R}} et b_n=\displaystyle\inf_{k \geq n}\{x_k\}, b_n\in\bar{\mathbb{R}}

Pour montrer que (a_n)_n est décroissante et (b_n)_n est croissante j’ai défini I_n=\{x_k,k \geq n\}
Si x\in{I_{n+1}} alors x\in{I_{n}} donc x\leq\sup(I_n) et x\geq\inf(I_n) c’est à dire a_n et b_n sont respectivement un majorant et un minorant de I_{n+1}.

Or {a}_{n+1} et {b}_{n+1} sont respectivement le plus petit majorant et le plus grand minorant de I_{n+1}.

d’où {a}_{n+1}\leq a_n et {b}_{n+1}\geq {b}_{n}.

Ce qui revient à dire que ({a}_{n})_n est décroissante et ({b}_{n})_n est croissante.