Matrices orthogonales ou unitaires, produit scalaire et norme.

Les matrices orthogonales et unitaires préservent le produit scalaire et sa norme associée.

Encore une fois, beaucoup trop de temps à chercher une démonstration assez facile à établir.

Soient X,Y deux matrices colonnes, U une matrice orthogonale ou unitaire. Il faut établir que :
\langle U\times X|U \times Y\rangle = \langle X | Y\rangle

Preuve : Dans le cas où nous sommes dans un \mathbb C-EV.
Le produit scalaire peut s’écrire sous la forme d’un produit matriciel :
\langle U\times X|U \times Y\rangle = \left( U\times Y\right)^* \times U \times X
Attention, contrairement à un {\mathbb R}-EV, l’ordre à son importance.
\langle U\times X|U \times Y\rangle = Y^*\times U^* \times U \times X
Par définition d’une matrice unitaire, on a : U^* \times U=I.
Donc \langle U\times X|U \times Y\rangle = Y^*\times X
Et finalement, \langle U\times X|U \times Y\rangle = \langle X | Y\rangle

Pour une matrice orthogonale la preuve serait identique.