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Valeur absolue

Définition et propriété de la valeur absolue d’un nombre.

lundi 2 octobre 2017, par scientificware

Petite réflexion sur la définition de la valeur absolue d’un nombre. Il s’agit d’arriver à construire une présentation en démontrant chaque élément nécessaire pour ce travail.

Pour faire le lien avec les espaces normés, il me semble plus approprié de définir la valeur absolue d’un nombre comme la norme est définie sur les espaces normés \mathbb{R}^n avec n \geq 2. Dans ce cas, la définition de la racine carrée d’un nombre est un pré-requis.

On appelle valeur absolue d’un nombre réel x, le nombre réel noté |x| défini par : |x|=\sqrt{x^2}.

Conséquence, la définition que l’on trouve dans beaucoup d’ouvrages devient une propriété.

Propriété :

  • |x| est donc un nombre positif.
  • |x| = x , si x > 0
  • |x| = -x, si x < 0
  • |x| = 0, si x = 0
  • x \leq |x|
  • Inégalité triangulaire : |x+y| \leq |x|+|y|

Preuve : Comme pré-requis, il est nécessaire de montrer que :
Si a \geq0 et b \geq 0 alors \sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}.
\sqrt{a \times b}^2=a \times b par définition de la racine carrée.
Si a \geq0 et b \geq 0 alors \sqrt{a \times b}^2=\sqrt{a}^2 \times \sqrt{b}^2.
\sqrt{a \times b}^2=(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2.
\sqrt{a \times b}^2-(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2=0
(\sqrt{a \times b}+(\sqrt{a} \times \sqrt{b})) \times (\sqrt{a \times b}-(\sqrt{a} \times \sqrt{b}))
Seule possibilité \sqrt{a \times b}-\sqrt{a} \times \sqrt{b}=0.
C’est à dire \sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}.

La fonction racine carrée est croissante.
Soit 0 \leq x_1 \leq x_2 ce qui par définition signifie 0 \leq (x_2-x_1) c’est à dire 0 \leq (\sqrt{x_2}^2-\sqrt{x_1}^2).

On obtient alors l’inégalité {0} \leq (\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}) \times (\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}).
{0} \leq (\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}) donc la règle des signes impose {0} \leq (\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}) c’est à dire {\sqrt{x_1}} \leq {\sqrt{x_2}}.
La fonction racine carrée est bien croissante.

{(x+y)^2}={x^2+2xy+y^2}
{(x+y)^2} \leq {|x|^2+2|x|×|y|+|y|^2}
{(x+y)^2} \leq {(|x|+|y|)^2}
\sqrt{(x+y)^2} \leq \sqrt{(|x|+|y|)^2}
Par définition de la valeur absolue cela revient à écrire |{x+y}| \leq |{|x|+|y|}|
Le second membre étant positif on a finalement |{x+y}| \leq {|x|+|y|}

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