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Roulement sans glissement.

Comment interpréter l’hypothèse "Rouler sans glisser" ?

dimanche 28 août 2016, par scientificware

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Objectif : Montrer que pour tout point M de coordonnées polaires (\rho,\theta) appartenant à une cardioïde \rho=2R(1+cos\theta).

Je soumets ici ma réflexion aux regards de ceux qui pourraient apporter des corrections ou des simplifications. Car il est possible que je sois passé à côté de quelque chose de plus simple.
"Rouler sans glisser" !
J’avais et j’ai passé beaucoup de temps à essayer d’interpréter cette hypothèse qui pour moi n’avait rien d’évidente. Après quelques semaines de réflexion et finalement 4 jours en août, je me suis rappelé que cette notion devait être définie dans le cours de mécanique :
On fait intervenir la vitesse de glissement \vec V_{1/2} d’une surface S_1 sur une autre S_2 relativement à un référentiel R.
Elle est définie par \vec{V}_{1/2}=\vec{V}_{I_1/R}-\vec{V}_{I_2/R}.
I_{1} et I_{2} sont respectivement les points de S_1 et S_2 en contact, \vec{V}_{I_1/R} et \vec{V}_{I_2/R} leur vitesse dans R.
Si \vec{V}_{1/2}=\vec{0}, il n’y a pas glissement sinon, il y a glissement.
Pour travailler, j’ai besoin de deux référentiels, R(\vec{i},\vec{j}) et R^{\prime}(\vec{m},\vec{n}) avec deux bases unitaires directes.
Le cercle immobile est C_{2} de centre G^{\prime}, R^{\prime} lui est associé.
Le cercle qui roule est C_{1} de centre G, R lui est associé.
En coordonnées polaires G(2R,\alpha)_{R^{\prime}} et G(R,\beta)_R
(Ensuite dire que le cercle cercle C_{1} roule sur C_{2} ne me parait pas suffisant, je rajoute qu’il doit avoir une vitesse angulaire constante. [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante]).
C’est à dire {\dot{\beta}} constant [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante].
Puisqu’il n’y a pas glissement et que C_{2} est immobile \vec{V}_{1/2}=\vec{0} est équivalent à \vec{V}_{I_1/R^{\prime}}=\vec{0}.
En dérivant dans R^{\prime} chaque membre de \overrightarrow{G^\prime I_1}=\overrightarrow{G^{\prime}G}+\overrightarrow{GI_1}, on arrive à l’égalité :
2 \dot{\alpha} =\dot{\beta}.
Autement dit, la vitesse angulaire de G dans R^{\prime} est aussi constante [Remarque à supprimer car rien ne justifie d’imposer une vitesse Constante].
Voilà, c’est le résultat que me manquait.
Ensuite, je reprends comme dans la correction.
En notant \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG^{\prime}}+\overrightarrow{G^\prime G}+\overrightarrow{GM} avec leur affixe dans R^{\prime}, nous obtenons :
\rho e^{i\theta}=R+2Re^{i(\dot\alpha t+\pi)}+Re^{i \dot\beta t}, {\pi} est introduit simplement pour respecter les conditions initiales à t=0.
\rho e^{i\theta}=R+2Re^{i(\dot\alpha t+\pi)}+Re^{i 2 \dot\alpha t} puisque \dot{\beta}=2 \dot{\alpha}.
Mais on peut également écrire \rho e^{i \theta}=R+2Re^{i(\dot\alpha t+\pi)}+Re^{i(2\dot\alpha t +2\pi)}.
On factorise le second membre par Re^{i(\dot{\alpha} t+\pi)} pour obtenir :
\rho e^{i \theta}=2R(1+cos(\dot\alpha t+\pi))e^{i(\dot\alpha t+\pi)} car e^{i(\dot\alpha t+\pi)}+e^{-i(\dot\alpha t+\pi)}=2cos(\dot\alpha t+\pi)
Par identification \theta=\dot\alpha t+\pi et \rho=2R(1+cos\theta).
Qu’en pensez-vous ?

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