Relation différentielle et dérivée.

Dans le cadre d’une preuve du théorème des accroissements finis.

Dans beaucoup de démonstrations, ce passage n’est pas explicité. Pourtant, il est loin d’être évident ! De quoi s’agit-il ?
Soit f ~: E \rightarrow \mathbb{R}.
Soit k ~: [0~;1] \rightarrow E avec k(x)=a+x\times(b-a) et a\in E, b\in E.
Soit F=f \circ k, on a bien F ~: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
Il s’agit d’établir que F^\prime(x)={\rm d}_{a+x(b-a)}f(b-a).
Rappel : F^\prime(x) \times h={\rm d}_{x}F(h)h\neq 0. C’est justement ce que je savais, d’où mon étonnement de ne pas voir h dans l’expression F^\prime(x)={\rm d}_{a+x(b-a)}f(b-a). Dans la démonstration que j’avais, ce résultat était donné comme évident ! Aurais-je loupé une partie du cours de calcul différentiel ? En fait, non. Il suffit de détailler quelques étapes.
D’abord puisque F est une fonction composée, nous pouvons expliciter sa différentielle dans le second membre de l’égalité. On obtient :
F^\prime(x) \times h=({\rm d}_{k(x)}f\circ{\rm d}_x k)(h)
Or {\rm d}_x k(h)=(b-a)\times h avec h\in\mathbb{R} et (b-a)\in E.
D’où F^\prime(x) \times h={\rm d}_{a+x\times(b-a)}f((b-a)\times h)
D’autre part, {\rm d}_{k(x)}f est une application linéaire donc nous pouvons appliquer cette linéarité au second membre de l’expression précédente :
F^\prime(x) \times h=({\rm d}_{a+x\times(b-a)}f(b-a))\times h.
Pour finir, puisque h\neq 0, nous pouvons simplifier par h ou prendre h=1 pour obtenir le résultat attendu :
F^\prime(x)={\rm d}_{a+x(b-a)}f(b-a).
La difficulté de cette démonstration, c’est de se rappeler à quels ensembles appartiennent les valeurs utilisées.
Attention, tout ceci n’est possible que parce que h est un réel et c’est utilisant la linéarité de la différentielle que l’on peut le sortir et procéder à la simplification. Si h n’était pas un réel, nous serions bloqués.
Sans doute devrais-je toujours garder à l’esprit que pour une fonction F ~: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F^\prime(x) \times h={\rm d}_{x}F(h) signifie que F^\prime(x) \times 1={\rm d}_{x}F(1) c’est à dire F^\prime(x)={\rm d}_{x}F(1)