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Associativité des bornes supérieures et inférieures.

Preuve de la relation.

mercredi 8 juin 2016, par scientificware

\sup(A \cup B) = \sup({\sup(A) , \sup(B)})
Relation qui peut également s’écrire :
\sup(A \cup B) = \max({\sup(A) , \sup(B)})

Preuve :

Soit M_{A \cup B} l’ensemble des majorants de A \cup B.
Notons E l’ensemble \{\sup(A) , \sup(B)\}
Soit M_E l’ensemble des majorants de E

Soit \alpha \in M_{A \cup B} puisque A \subset A \cup B et B \subset A \cup B, on en déduit que \alpha est un majorant de A et B et par conséquent \sup(A) \leq \alpha et \sup(B) \leq \alpha donc \alpha est un majorant de \{\sup(A) , \sup(B)\} d’où \alpha \in M_E.
Autrement dit, M_{A \cup B} \subset M_E.

Soit \beta \in M_E alors \sup(A) \leq \beta et \sup(B) \leq \beta donc \beta est un majorant de A et un majorant de B.
x \in A \cup B équivaut à x \in A ou x \in B ce qui entraîne x \leq \beta ou x \leq \beta donc \beta est un majorant de A \cup B d’où \beta \in M_{A \cup B}.
Autrement dit, M_E \subset M_{A \cup B}

En regroupant les deux résultats, on a M_E = M_{A \cup B}.

\inf(A \cup B) = \inf({\inf(A) , \inf(B)})
Relation qui peut également s’écrire :
\inf(A \cup B) = \min({\inf(A) , \inf(B)})

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