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Continuité sur R.

Continuité de la fonction inverse.

mercredi 8 juin 2016, par scientificware

Soit \varepsilon>0.
Posons dans un premier temps |x-x_0|<\frac{|x_0|}{2}.
Sachant que |x|=|x-x_0+x_0|, on peut en déduire que |x| \leq |x-x_0|+|x_0| (inégalité triangulaire).
D’où |x|-|x_0|\leq|x-x_0|.
En partant de |x_0|=|x_0-x+x|, on obtiendrait également |x_0|-|x| \leq |x-x_0| qui peut aussi s’écrire -|x-x_0| \leq |x|-|x_0| .
En réunissant ces deux résultats, on obtient -|x-x_0| \leq |x|-|x_0| \leq |x-x_0| (C’est en fait la seconde inégalité triangulaire :  \left|{ |x|-|x_0|} \right| \leq |x-x_0|).
Comme |x-x_0|<\frac{|x_0|}{2}, on a -\frac{|x_0|}{2} \leq |x|-|x_0| \leq \frac{|x_0|}{2} puis \frac{|x_0|}{2} \leq |x| \leq \frac{3|x_0|}{2}. Conservons uniquement \frac{|x_0|}{2} \leq |x|, la minoration de |x|.

Puis remarquons que pour x \neq 0, x_0 \neq 0, \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right| peut s’écrire \left|\frac{x_0-x}{x \times x_0}\right| ou encore \frac{1}{|x| \times |x_0|}|x-x_0|.
La minoration de |x| obtenue précédemment permet d’obtenir la majoration \frac{1}{|x|} \leq \frac{2}{|x_0|}.
En multipliant chaque membre de l’inégalité par \frac{1}{|x_0|}|x-x_0| on obtient :
\frac{1}{|x| \times |x_0|}|x-x_0| \leq \frac{2}{|x_0|^2}|x-x_0|.

Imposons, pour finir, que |x-x_0| satisfasse également la contrainte |x-x_0|< \frac{|x_0|^2}{2} \times \varepsilon, on a :
\frac{1}{|x| \times |x_0|}|x-x_0| < \varepsilon.

Donc \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right| peut être strictement inférieure à n’importe quel nombre réel \varepsilon>0, il suffit de prendre |x-x_0|<min \left\{\frac{|x_0|}{2},\frac{|x_0|^2}{2} \times \varepsilon \right\}.
Autrement dit, la fonction inverse x \mapsto \frac{1}{x} est continue sur son ensemble de définition.

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