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Correction Capes Interne 2010 de Mathématiques

mercredi 5 janvier 2011, par scientificware

Dans le rapport du Jury, il est noté que l’utilisation de la convexité comme justification est acceptée. Cependant, il est précisé que ce n’est pas dans l’esprit du sujet. Après quelques semaines de recherche, voici ma proposition :

II.7.2.2. Soit \varphi = f - v.

Par définition de v, on a \varphi \left( a \right) = \varphi \left( b
\right) = 0 ( les courbes représentatives de f et v passent par \left(a ; f \left( a \right) \right) et \left( b ; f \left( b \right) \right) ).

En II.7.2.1 on a montré que v’ \left( c \right) = f’ \left(
c \right).

Rappel : v’ est constante : v’ \left( x \right) = \frac{f (b) - f (a)}{b
- a} .

Dans l’expression \varphi’ \left( x \right) = f’ \left( x \right) - v’ \left(
x \right), on peut donc remplacer v’ \left( x \right) par v’ \left( c
\right) autrement dit par f’ \left( c \right) : \varphi’ \left( x \right) = f’ \left( x \right) - f’ \left( c \right).

Depuis II.3.3, on sait que f’ est décroissante donc
- sur \left[ a ; c \right], f’ \left( x \right) \ge  f’ \left( c \right) soit \varphi’ \ge 0, \varphi est croissante, \varphi \left( x \right) \ge \varphi \left( a \right), \varphi \left( x \right) \ge 0

- sur [c ; b], on obtient \varphi’ \le 0 \nocomma, \varphi est décroissante d’où \varphi \left( x \right) \ge \varphi \left( b  \right), \varphi \left( x \right) \ge 0

Conclusion : sur \left[ a ; b \right] on a f - v \ge 0 c’est à dire f \ge v.

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